Bilangan Bulat dan Sifat-sifatnya

Bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif {..., –3, –2, –1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, ...}.

Pada garis bilangan letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.

 

Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, ... disebut bilangan bulat negatif. Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

Dari garis bilangan terlihat bahwa semakin ke kanan maka nilainya semakin besar, begitu juga sebaliknya semakin ke kiri maka nilai bilangannya semakin kecil.

Sehingga dapat disimpulkan untuk setiap p dan q bilangan bulat berlaku

a.    Jika p terletak disebelah kanan q maka p > q

b.    Jika p terletak disebelah kiri q maka p < q

Pada penjumlahan bilangan bulat dapat menggunakan alat bantu yaitu menggunakan garis bilangan, bilangan yang di jumlahkan di gambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut.

Jika bilangannya positif maka arah anak panahnya ke kanan, dan jika bilangannya negatif maka anak panahnya ke arah kiri.

Contoh:

Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan 6 + (–8)

Penyelesaian:

Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.

(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.

(c) Hasilnya, 6 + (–8) = –2.

Lihat gambar!

Pada penjumlahan bilangan bulat terdapat sifat-sifat yang harus dipahami, diantaranya yaitu:

a.   Sifat tertutup

Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b.  Sifat komutatif

Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

c.   Mempunyai unsur identitas

Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = a = 0 + a.

d.  Sifat asosiatif

Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

e.  Mempunyai invers

Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)). Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah a. Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0.

 Sedangkan pada perkalian bilangan bulat mempunyai sifat-sifat tersendiri dianranya yaitu:

Jika p dan q adalah bilangan bulat maka

a.   Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p x q = r dengan r juga bilangan bulat.

b.  Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p x q = q x p.

c.   Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku (p x q) x r = p x (q x r).

d.  Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p x (q + r) = (p x q) + (p x r).

e.  Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p x (q – r) = (p x q) – (p x r).

f.   Memiliki elemen identitas

Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku p x 1 = p = 1 x p. Elemen identitas pada perkalian adalah 1.

Sedangkan pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat tertutup, komutatif,  serta asosiatif.