Bilangan rasional dan irasional

Bilangan rasional dan irasional

Bilangan rasional dan irasional merupakan himpunan bagian dari bilangan rill. Bagaimanakah cara untuk membedakan bilangan rasional dan irasional?

Untuk membedakan bilangan rasional dan irasional, terlebih dahulu kita harus mengetahui apa itu bilangan rasional dan apa itu bilangan rasional.

Bilangan rasional adalah

·         Bilangan yang dapat di tuliskan dalam bentuk p per q , dimana q tidak boleh sama dengan 0 , p dan q adalah anggota ℤ  (bilangan bulat).  

·         Jika dituliskan dalam bentuk desimal maka bentuknya bisa desimal terbatas atau bentuk desimal tak terbatas dan berulang. Contoh: a) desimal terbatas yaitu 0.56 , 5.7 dan sebagainya. b) desimal tak terbatas dan berulang yaitu 7.123123123... 5.136136... dan sebagainya. 

Bilangan irasional adalah

·         Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk  p per q 
·         Jika dituliskan dalam bentuk desimal maka bentuknya tak terbatas dan tak berulang

Contohnya yaitu 0.123674526... , 4.3457891... dan sebagainya.

Dari definisi diatas kita sudah dapat membedakan bilangan rasional dan irasional.

Lalu bagaimakah cara mengubah bilangan rasional dalam bentuk desimal tak terbatas dan berulang menjadi bentuk p/q?

Misalkan ada bilangan rasional 3.454545... nyatakan dalam bentuk p/q

Jawab:

Kita misalkan bilangan rasional tersebut x, kemudian kita kurangkan dari 100x karena angka desimalnya berulang setiap 2 digit kemudian selesaikan untuk x.

100 x = 345.4545...

      x =       3.4545...

99 x = 332

      x = 332/99

jadi bentuk lain dari bilangan rasional 3.4545... adalah      x = 332/9

jika bilangan rasional dan bilangan irasional dijumlakan maka hasilnya adalah bilangan irasional.

Buktinya adalah sebagai berikut.

Bila x =  m/n dimana m dan n adalah bilangan bulat, dan bila y adalah bilangan irasional, maka x + y adalah irasional.

Misalkan x + y rasional, dan dengan demikian x + y = p/q  dimana p dan q adalah bilangan bulat, maka

Y = (p/q) – x

  = (p/q) - (m/n)

  = (pn-mq)/qn

Ini berarti bahwa y adalah bilangan rasional bertentangan dengan pengandaian.