Bilangan Bulat dan Sifat-sifatnya

Bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif {..., –3, –2, –1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, ...}.

Pada garis bilangan letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.

 

Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, ... disebut bilangan bulat negatif. Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

Dari garis bilangan terlihat bahwa semakin ke kanan maka nilainya semakin besar, begitu juga sebaliknya semakin ke kiri maka nilai bilangannya semakin kecil.

Sehingga dapat disimpulkan untuk setiap p dan q bilangan bulat berlaku

a.    Jika p terletak disebelah kanan q maka p > q

b.    Jika p terletak disebelah kiri q maka p < q

Pada penjumlahan bilangan bulat dapat menggunakan alat bantu yaitu menggunakan garis bilangan, bilangan yang di jumlahkan di gambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut.

Jika bilangannya positif maka arah anak panahnya ke kanan, dan jika bilangannya negatif maka anak panahnya ke arah kiri.

Contoh:

Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan 6 + (–8)

Penyelesaian:

Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.

(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.

(c) Hasilnya, 6 + (–8) = –2.

Lihat gambar!

Pada penjumlahan bilangan bulat terdapat sifat-sifat yang harus dipahami, diantaranya yaitu:

a.   Sifat tertutup

Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b.  Sifat komutatif

Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

c.   Mempunyai unsur identitas

Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = a = 0 + a.

d.  Sifat asosiatif

Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

e.  Mempunyai invers

Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)). Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah a. Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0.

 Sedangkan pada perkalian bilangan bulat mempunyai sifat-sifat tersendiri dianranya yaitu:

Jika p dan q adalah bilangan bulat maka

a.   Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p x q = r dengan r juga bilangan bulat.

b.  Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p x q = q x p.

c.   Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku (p x q) x r = p x (q x r).

d.  Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p x (q + r) = (p x q) + (p x r).

e.  Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p x (q – r) = (p x q) – (p x r).

f.   Memiliki elemen identitas

Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku p x 1 = p = 1 x p. Elemen identitas pada perkalian adalah 1.

Sedangkan pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat tertutup, komutatif,  serta asosiatif.

Proposisi pada Logika Matematika

Penarikan kesimpulan berdasarkan uraian atau fakta-fakta yang ada adalah suatu hal yang lazim kita lakukan dalam kehidupan sehari-hari.

Suatu kesimpulan adalah benar jika merupakan akibat dari fakta-fakta yang ada.

Argumentasi adalah kumpulan sebuah kesimpulan beserta fakta-faktanya.

Argumentasi dikatakan benar atau valid jika fakta-fakta yang ada bernilai benar dan logis.

Proposisi (proposition) merupakan kalimat deklaratif atau pernyataan yang hanya memiliki satu nilai kebenaran (benar saja atau salah saja akan tetapi tidak berlaku kedua-duanya).

Bentuk proposisi pada umumnya adalah kalimat berita yang bisa ditentukan kebenarannya.

Contoh penyataan yang merupakan proposisi
a. 5 + 4 = 9
b. Ibukota indonesia adalah bandung Kalimat ke- 1 adalah contoh proposisi yang bernilai benar sedangkan kalimat ke- 2 adalah contoh proposisi yang bernilai salah.

Contoh pernyataan yang bukan merupakan proposisi
a. x-y = y-z
b. Cuci tangan sebelum makan!
c. Mengapa komputer itu berguna? Pada pernyataan ke- 1 x-y = y-z bisa benar sekaligus salah selama nilai dari x, y belum ditetapkan (ketika x = y pernyataan menjadi benar, selain itu pernyataan menjadi salah). Sehingga pernyataan ke- 1 bukan merupakan proposisi, demikian pula dengan pernyataan ke- 2 adalah kalimat perintah dah pernyataan ke- 3 adalah kalimat tanya dimana keduanya tidak memiliki nilai kebenaran sehingga keduanya bukan merupakan proposisi.

Proposisi dapat pula dituliskan secara simbolik untuk memudahkan proses manipulasi atau kalkulasi.

Dalam penulisan simbolik dari proposisi biasanya menggunakan huruf kecil seperti p, q, r, dan sebagainya.

Pada proposisi terdapat istilah atom yang merupakan proposisi yang bukan hasil kombinasi dari proposisi-proposisi.

Pembuktian dengan kontradiksi

Pembuktian dengan kontradiksi

Dalam ilmu matematika kita sering sekali menemukan teorema-teorema. Untuk membuktikan teorema biasanya bisa menggunakan pembuktian kontradiksi. Selain pada pembuktian teorema pembuktian kontradisi juga biasanya sering dipakai pada pembuktian nilai kebenaran pada suatu pernyataan dalam logika matematika.

Sebelum membuktikan dengan kontradiksi, kita terlebih dahulu harus mengetahui langkah-langakah dalam pembuktian dengan kontradiksi terutama pada pembuktian pernyataan logika matematika.

Langkah-langkanya yaitu:

1.     Negasikan formula yang ingin dibuktikan

2.    Negasi tersebut menjadi premis  baru yang dianggap benar

3.    Premis baru pada langkah 2 diturunkan bersama-sama dengan premis-premis lain sedemikian hingga terjadi kontradiksi

4.    Jika terjadi kontradiksi, maka negasikan premis baru

5.    Negasi dari premis baru adalah formula awal itu sendiri (formula awal terbukti benar)

Contoh

 

Rumus Herron

Semua poligon dapat dibentuk oleh beberapa segitiga.Untuk membuktikannya, sebuah poligon dipotong-potong hingga tidak membentuk poligon tersebut dengan potongannya berbentuk segitiga, maka poligon tersebut akan berubah menjadi segitiga-segitiga yang jika digabungkan akan membentuk poligon tersebut.

Sehingga untuk mencari luas poligon tersebut dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan luas segitiga-segitiga yang membentuk poligon tersebut.

Untuk mencari luas segitiga kita bisa menggunakan rumus sebagai berikut.

Dimana a sebagai alas dan t sebagai tinggi segitiga, tetapi rumus tersebut hanya dapat dipakai jika tinggi setiga tersebut diketahui, dan jika tingginya tidak diketahui pada segitiga siku-siku,segitiga sama sisi, dan segitiga sama kaki dapat dicari dengan menggunakan aturan phytagoras. Tetapi untuk mencari luas segitiga pada segitiga sembarang jika tingginya tidak diketahui akan menghabiskan banyak waktu, maka dari itu kita harus menggunakan rumus herron.

Rumus herron biasanya dipakai untuk mempermudah kita dalam mencari luas segitiga tak beraturan dan tidak diketahui tingginya. Bentuk rumus herron adalah sebagai berikut:

Untuk menentukan rumus herron yang pertama-tama kita harus mencari garis tinggi segitiga. garis tinggi segitiga dapat dicari menggunakan garis singgung lingkaran luar segitiga diperoleh:

Setelah mencari garis tinggi segitiga kemudian di aplikasikan ke rumus luas segitiga secara umum.

Terbukti

Sehingga rumus untuk mencari luas segitiga yang tidak diketahui tingginya dapat menggunakan rumus herron yaitu 

 

Bilangan rasional dan irasional

Bilangan rasional dan irasional

Bilangan rasional dan irasional merupakan himpunan bagian dari bilangan rill. Bagaimanakah cara untuk membedakan bilangan rasional dan irasional?

Untuk membedakan bilangan rasional dan irasional, terlebih dahulu kita harus mengetahui apa itu bilangan rasional dan apa itu bilangan rasional.

Bilangan rasional adalah

·         Bilangan yang dapat di tuliskan dalam bentuk p per q , dimana q tidak boleh sama dengan 0 , p dan q adalah anggota ℤ  (bilangan bulat).  

·         Jika dituliskan dalam bentuk desimal maka bentuknya bisa desimal terbatas atau bentuk desimal tak terbatas dan berulang. Contoh: a) desimal terbatas yaitu 0.56 , 5.7 dan sebagainya. b) desimal tak terbatas dan berulang yaitu 7.123123123... 5.136136... dan sebagainya. 

Bilangan irasional adalah

·         Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk  p per q 
·         Jika dituliskan dalam bentuk desimal maka bentuknya tak terbatas dan tak berulang

Contohnya yaitu 0.123674526... , 4.3457891... dan sebagainya.

Dari definisi diatas kita sudah dapat membedakan bilangan rasional dan irasional.

Lalu bagaimakah cara mengubah bilangan rasional dalam bentuk desimal tak terbatas dan berulang menjadi bentuk p/q?

Misalkan ada bilangan rasional 3.454545... nyatakan dalam bentuk p/q

Jawab:

Kita misalkan bilangan rasional tersebut x, kemudian kita kurangkan dari 100x karena angka desimalnya berulang setiap 2 digit kemudian selesaikan untuk x.

100 x = 345.4545...

      x =       3.4545...

99 x = 332

      x = 332/99

jadi bentuk lain dari bilangan rasional 3.4545... adalah      x = 332/9

jika bilangan rasional dan bilangan irasional dijumlakan maka hasilnya adalah bilangan irasional.

Buktinya adalah sebagai berikut.

Bila x =  m/n dimana m dan n adalah bilangan bulat, dan bila y adalah bilangan irasional, maka x + y adalah irasional.

Misalkan x + y rasional, dan dengan demikian x + y = p/q  dimana p dan q adalah bilangan bulat, maka

Y = (p/q) – x

  = (p/q) - (m/n)

  = (pn-mq)/qn

Ini berarti bahwa y adalah bilangan rasional bertentangan dengan pengandaian.

Binomial Newton

Binomial newton

Pada bab peluang, kita menemukan istilah tentang binomial newton. Apakah binomial newton itu?

Untuk lebih jelasnya kita akan membahas tentang binomial newton dan cara mendapatkan binomial newton.

Sebelum kita ke binomial newton, terlebih dahulu kita mengingat tentang segitiga pascal karena binomial newton itu masih ada kaitannya dengan pembentukan binomial newton.

Berikut ini adalah bentuk segitiga pascal

                                                1

                                      1        2        1

                             1             3         3           1

                   1            4              6             4             1

                                  Dan seterusnya.

Jika diamati pola tersebut maka akan  bentuknya tak lain sebagai berlaku

 Dari uraian tersebut, bentuk perpangkatan dapat dituliskan sebagai berikut.